今回の記事では行列と線形写像の関係について解説します。
結論から言うと、両者は同一視することができて、行列と線形写像は１対１に対応します。
この記事の著者
マス夫 @masuo_blog
現役東北大学院生。院試免除、早期卒業で大学院進学。
大学の数学と物理をわかりやすく解説しています。
目次
標準基底
次のような$n$項列ベクトルを考えます。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{ e }_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right),
\boldsymbol{ e }_{2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right),\cdots,
\boldsymbol{ e }_{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right),\cdots,
\boldsymbol{ e }_{n}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
\vdots \\
0 \\
1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
こうして、各$j=1,2, \cdots,n$に対して$j$番目の成分が$1$で、他の成分がすべて$0$であるベクトル$\boldsymbol{e}_{j}$ができます。
この$n$個のベクトルの組$\boldsymbol{e}_1 , \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$を$\boldsymbol{R}^n$の標準基底といいます。
線形写像から行列
ある線形写像$f: \boldsymbol{R}^n \longrightarrow \boldsymbol{R}^m$が与えられたとします。
このとき、$\boldsymbol{R}^n$の標準基底の像$$f(\boldsymbol{e}_{1}), f(\boldsymbol{e}_2), \cdots, f(\boldsymbol{e}_n)$$を考えます。これの像はすべて$\boldsymbol{R}^m$のベクトルなので、それぞれ$m$個の成分を用いて以下のように表すことができます。
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{e}_1)=\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}
\end{array}
\right),
f(\boldsymbol{e}_2)=\left(
\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m2}
\end{array}
\right),\cdots,
f(\boldsymbol{e}_j)=\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}
\end{array}
\right),\cdots,
f(\boldsymbol{e}_n)=\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
$f(\boldsymbol{e}_j)$を$\boldsymbol{R}^m$の標準基底$\boldsymbol{e}^{,}_{1} , \boldsymbol{e}^{,}_2, \cdots, \boldsymbol{e}^{,}_m$を用いて以下にように表します。
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{e}_j)&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}
\end{array}
\right) \\[5pt]
&=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right)+
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
a_{2j} \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right)+\cdots+
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
a_{mj}
\end{array}
\right) \\[5pt]
&=&a_{1j}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right)+a_{2j}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}
\right)+\cdots+a_{mj}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{array}
\right) \\[5pt]
&=&a_{ij}\boldsymbol{e}^{,}_1+a_{2j}\boldsymbol{e}^{,}_2+\cdots+a_{mj}\boldsymbol{e}^{,}_m \\[5pt]
&=&\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ij}\boldsymbol{e}^{,}_i
\end{eqnarray}
この$\boldsymbol{R}^n$の標準基底の像$f(\boldsymbol{e}_j)$を順に並べることにできる$m \times n$行列を$A$とすると、
\begin{eqnarray}
A = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
線形写像$f: \boldsymbol{R}^n \longrightarrow \boldsymbol{R}^m$に対して標準基底という特別なベクトルで行列$A$を定めたが、実は$\boldsymbol{R}^n$の任意のベクトル$\boldsymbol{x}$の像もこの行列$A$によって決まってしまいます。
つまり、線形写像$f$は標準基底の像によって特徴づけられます。
今、$\boldsymbol{R}^n$の任意のベクトル$\boldsymbol{x}$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
を考えます。$\boldsymbol{R}^n$の標準基底$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$を使うと以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n
\end{eqnarray}
ここで線形性を繰り返し利用して$f(\boldsymbol{x})$を以下のように式変形をします。
線形性についてはこの記事を見てください。
あわせて読みたい
線形写像と線形性について解説
前回は写像の基礎について解説しました。 今回はいよいよ線形写像について解説していきます。 10分あればすべて読めると思います。 この記事の著者 マス夫 @masuo_blog …
\begin{eqnarray}
f(\boldsymbol{x})&=&f(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n) \\[5pt]
&=&f(x_1\boldsymbol{e}_1)+f(x_2\boldsymbol{e}_2)+\cdots+f(x_n\boldsymbol{e}_n) \\[5pt]
&=&x_1f(\boldsymbol{e}_1)+x_2f(\boldsymbol{e}_2)+\cdots+x_nf(\boldsymbol{e}_n) \\[5pt]
&=&x_1\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}
\end{array}
\right)+x_2\left(
\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m2}
\end{array}
\right)+\cdots+x_n\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}
\end{array}
\right) \\[7pt]
&=&\left(
\begin{array}{cccc}
x_1a_{ 11 } & x_2a_{ 12 } & \ldots & x_na_{ 1n } \\
x_1a_{ 21 } & x_2a_{ 22 } & \ldots & x_na_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1a_{ m1 } & x_2a_{ m2 } & \ldots & x_na_{ mn }
\end{array}
\right) \\[7pt]
&=&\left(
\begin{array}{cccc}
a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn }
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right) \\[5pt]
&=&A\boldsymbol{x}
\end{eqnarray}
こうして、$\boldsymbol{R}^n$の任意のベクトル$\boldsymbol{x}$に対して$$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$$が成り立ちます。
まとめると以下のようなことが言えます。
線形写像$f: \boldsymbol{R}^n \longrightarrow \boldsymbol{R}^m$が与えられると、$m \times n$行列が定まり、線形写像はベクトルにその行列をかけることであたえることができます。また、その行列は標準基底の像から求めることができます。
行列から線形写像
先ほど、線形写像に対して行列が定まり、線形写像はベクトルにその行列をかけることで求められることを見てきました。
ここでは、逆に行列が線形写像を定義することを見ていきましょう。
任意の$m \times n$行列$A$に対して、写像$f_A: \boldsymbol{R}^n \longrightarrow \boldsymbol{R}^m$を$$f_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x} \quad \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{R}^n$$によって定義します。
ここで$\boldsymbol{R}^n$の任意のベクトルを$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$、スカラーを$k$とします。
\begin{eqnarray}
f_A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})&=&A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=f_A\boldsymbol{x}+f_A\boldsymbol{y} \\[5pt]
f_A(k\boldsymbol{x})&=&A(k\boldsymbol{x})=kA\boldsymbol{x}=kf_A(\boldsymbol{x})
\end{eqnarray}
よって、写像$f_A$は線形写像であり、行列から線形写像を定義することができました。
まとめ
これまでで線形写像から行列を定めることができ、逆に行列から線形写像を定義することができることを見てきました。
つまり、線形写像$f: \boldsymbol{R}^n \longrightarrow \boldsymbol{R}^m$と$m \times n$行列$A$は1対1に対応していて、両者を同一視することができます。
次回は線形写像の合成と行列の積について解説していきます。
コメント